高中正余弦定理教学设计

时间：2026-07-12 09:07:33 教学设计

高中正余弦定理教学设计

　　高中正余弦定理是高中几何数学的基础，学好这部分内容，有助于提升学生对几何数学的辨析能力和理解能力，下面是高中正余弦定理教学设计，我们一起来看看吧！

高中正余弦定理教学设计

　　一. 教学目标：

　　1知识与技能：认识正弦、余弦定理，了解三角形中的边与角的关系

　　2过程与方法：通过具体的探究活动，了解正弦、余弦定理的内容，并从具体的实例掌握正弦、余弦定理的应用

　　情感态度与价值观：通过对实例的探究，体会到三角形的和谐美，学会稳定性的重要

　　二. 教学重、难点：

　　1. 重点：

　　正弦、余弦定理应用以及公式的变形 2. 难点：

　　运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。

　　知识梳理

　　1．正弦定理和余弦定理

　　在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则

　　(1)S＝2ah(h表示边a上的高)． 111

　　(2)S＝2bcsin A＝2sin C＝2acsin B. 1

　　(3)S＝2r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)

　　问题1：在△ABC中，a＝3，b2，A＝60°求c及B C 问题2在△ABC中,c=6 A=30° B=120°求a b及C

　　问题3在△ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝16，则b＝

　　通过对上述三个较简单问题的解答指导学生总结正余弦定理的应用; 正弦定理可以解决

　　(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；

　　(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角

　　余弦定理可以解决

　　(1)已知三边，求三个角；

　　(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角

　　我们不难发现利用正余弦定理可以解决三角形中“知三求三” 知三中必须要有一边应用举例【例1】 (1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的`边长分别为a，b.若2asin B3b，则角A等于 ( )．ππππA.3B.4 C.6 12

　　(2)(2014·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝2，B＝45°，则sin C＝______.

　　解析 (1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝3sin B， ∵B为△ABC的内角，∴sin B≠0. 3

　　∴sin A＝2又∵△ABC为锐角三角形， π?π?

　　∴A∈?02?，∴A＝3??

　　(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－2×2＝25，即b＝5. c·sin B

　　所以sin Cb4

　　答案 (1)A (2)5【训练1】 (1)在△ABC中，a＝3，c＝2，A＝60°，则C＝

　　A．30°B．45° C．45°或135°

　　D．60°

　　(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝3sin B，则A＝ A．30°

　　B．60° C．120°

　　D．150°

　　232解析 (1)由正弦定理，得sin 60°sin C，解得：sin C＝2，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°. (2)∵sin C＝23sin B，由正弦定理，得c＝23b， b2＋c2－a2－3bc＋c2－3bc＋3bc3∴cos A＝2bc＝＝2bc2bc2，又A为三角形的内角，∴A＝30°. 答案 (1)B (2)A

　　规律方法已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．

　　【例2】 (2014·临沂一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的大小；

　　(2)若sin B＋sin C＝3，试判断△ABC的形状．解 (1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2， b2＋c2－a21

　　∴cos A＝2bc＝2，∴A＝60°.

　　(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°. 由sin B＋sin C＝3，得sin B＋sin(120°－B)＝3， ∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝3. 33

　　∴2sin B＋2B＝3，即sin(B＋30°)＝1. ∵0°

　　∴B＋30°＝90°，B＝60°.

　　∴A＝B＝C＝60°，△ABC为等边三角形．

　　规律方法解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．

　　课堂小结

　　1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．

　　2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a2＝b2＋c2－2bccos A可以转化为sin2 A＝sin2 B＋sin2 C－2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明